证明也是数学论证：通过一系列逻辑步骤，它证明某个陈述是正确的。
证明的要点是说服读者相信某个断言的真实性。这意味着验证是关键。
数学的验证系统是：很多人会从不同的角度看待证明，是基于他们所知道和相信的上下文背景。
从某种意义上说，这并不是说它是真的、客观的、正确的；而是说，我们希望它是正确的，因为很多人都从不同的角度尝试过。
证明是被这些社区标准所接受。
然后才是客观性的概念：确保所声称的内容是正确的，客观的，好像感觉自己拥有终极真理。
banq注：（任何陈述都有形式和内容之分：例如 我在家吃饭，这句话内容就是字面意思，它的形式之一是 主谓宾，当然还有其他形式抽象，数学是容易共识的形式抽象，chatgpt也有自己的形式抽象，只是人类无法理解而已。所有这些剥离了内容的形式抽象都有通病，无法验证内容的客观性，也就是是否确实指向现实世界，或者指向错误了，例如指鹿为马，用马这个词语指向鹿这个动物，我们人类一眼假，但是ChatGPT不一定能看出真假，出现了幻觉。这是形式哲学被客观哲学看不起的原因。）
但我们怎么知道我们是客观的呢？因为我们很难将自己从发表声明的上下文背景中抽离出来：在社会已经确立的范式之外获得视角。对于科学思想和其他任何事物来说都是如此。
人们还可以问数学中还有客观真理吗？但这显然也是主观的。为什么我们认为莎士比亚是一位好作家？莎士比亚在他那个时代并不像今天那么受欢迎。显然，关于什么是有趣的、什么是重要的，存在着社会惯例。这取决于当前的范式。
范式变化
范式上下文的变化最著名的例子之一是微积分。
当微积分被发明时，它涉及到将趋于零的东西除以其他趋向于零的东西：导致零除以零，这没有任何意义。最初，牛顿和莱布尼茨提出了称为无穷小的物体。这使得他们的方程成立，但以今天的标准来看，它既不合理也不严格。
我们现在有了epsilon-delta式，它是在 19 世纪末推出的。这种现代公式在正确理解这些概念方面的优势是如此惊人，以至于当你看到以前的公式时，你会想，他们到底在想什么？但在当时，这被认为是唯一的方法。公平地说，莱布尼茨和牛顿可能会喜欢现代的方法。由于他们时代的范式，他们没想过要这么做。所以他们花了很长的时间才走到这一步。
问题是，我们不知道自己何时会做出这样的行为。
我们被困在自己所处的社会中。
我们没有外部的视角来判断我们在做什么假设。（banq：身在庐山中不识庐山真面貌）
数学的危险之一在于：你会认为某些东西并不重要，因为它不容易用你选择的语言表达或讨论。这并不意味着你是对的。
笛卡尔说："我认为我知道关于三角形的一切，但谁又能说我知道呢？未来可能会有人提出截然不同的观点，从而提出更好的三角形思考方法"
他是对的。你可以在数学中看到这一点。
证明看作是一种社会契约
数学证明是一种作者与其数学社区之间的一种相互协议。
如果证据存在于社会上下文环境中，它们随着时间的推移发生了怎样的变化？
这一切都始于亚里士多德。他说，需要有某种演绎系统：你只能通过基于你已经知道并且确定的事情来证明新事物，回到某些“原始陈述”或公理。
那么问题是：你所知道的那些基本事实是什么？很长一段时间，人们只是说，线就是线，圆就是圆；有一些简单明了的事情，这些应该是我们开始的假设。
这种观点永远持续下去。今天它在很大程度上仍然存在。但发展起来的欧几里得公理系统——“一条线就是一条线”——也有它的问题。
伯特兰·罗素根据集合的概念发现了这些悖论。
此外，人们可以用数学语言玩文字游戏，创建有问题的陈述，例如“这个陈述是假的”（如果它是真的，那么它是假的；如果它是假的，那么它是真的），这表明公理系统存在问题。
因此，罗素和阿尔弗雷德·怀特海德试图创建一个新的数学系统来避免所有这些问题。但它非常复杂，很难相信这些是正确的起点。
没有人对此感到满意。像证明 2 + 2 = 4 这样的事情从起点开始就占用了大量的空间。这样的系统有什么意义呢？
然后大卫希尔伯特出现并提出了一个惊人的想法：也许我们根本不应该告诉任何人什么是正确的开始。相反，任何有效的东西——一个简单、连贯和一致的起点——都值得探索。
你不能从你的公理中推导出两件互相矛盾的事情，你应该能够用所选的公理来描述大部分数学。但你不应该先验地说出它们是什么。
在 20 世纪之交，数学家们意识到可以有多种公理体系：不应该把任何一套特定的公理当作普遍或不证自明的真理！
希尔伯特一开始对不同的几何概念非常感兴趣： 非欧几里得几何。
当时争议很大当时的人们会说，如果你给我的定义是一条线绕着盒子的角走，我到底为什么要听你的？而希尔伯特却说，如果他能让这个定义连贯一致，你就应该听他的，因为这可能是我们需要理解的另一种几何。
这种观点的革命之处在于：你可以允许任何公理系统，不仅适用于几何，也适用于所有数学。
哥德尔
要讨论数学，您需要一种语言，以及该语言中要遵循的一组规则。在 20 世纪 30 年代，哥德尔证明，无论你如何选择你的语言，该语言中总会有一些陈述是正确的，但无法从你的起始公理中证明。
你会立即陷入这种哲学困境：如果你不能证明它是正确的，那么什么是真正的陈述？这很疯狂。
所以有一个大混乱：我们能做的事情是有限的。
格兰维尔说：
“数学的危险之一是，你可能会认为某件事不重要，因为它不容易用你选择使用的语言表达或讨论，这并不意味着你是对的，”