什么是反对称关系？

反对称关系是集合上的一种二元关系，其中在一个方向上彼此相关的任何两个不同元素不能在相反方向上相关。例如，考虑整数集合上的关系“小于或等于”(≤)。这种关系是反对称的，因为如果 a ≤ b且b ≤ a，则a必须等于b。本文讨论反对称关系，包括其定义、示例以及属性。

数学中的关系是什么？
关系是指一组有序对，其中每对由来自两个集合的元素组成。这些集合可以相同或不同。两个集合 A 和 B 之间的关系 R 被定义为笛卡尔积 A × B 的子集。换句话说，如果 (a, b) 是关系 R 中的有序对，则意味着存在某种关系在a和b之间。

例如，让我们考虑两个集合：

• A = {1, 2, 3}
• B = {4, 5, 6}

什么是反对称关系？
反对称关系是集合的两个元素与关系R相关的关系，即，第一元素R第二元素和第二元素R第一元素，则第一元素等于第二元素。
换句话说，反对称关系定义为如果aRb 和bRa 那么a = b。关系式 R = {(a, b) → R | a ≤ b} 是不对称关系，因为 a ≤ b 和 b ≤ a 意味着 a = b。

如果在集合 S 中两个元素 p 和 q 与关系 R 相关，则该关系称为反对称关系，p = q。另外，如果对于每个 (p, q) ∈ R，(q, p) ∉ R 则 R 是反对称的。在数学上，反对称关系定义为：

如果 x 和 y 是集合 X 中的两个元素且 R 是关系，则关系反对称的条件：

(xRy 和 yRx) ⇒ (x = y) ∀ x, y ∈ X

或者

(x, y) ∈ R 则 (y, x) ∉ R

反对称关系的例子
反对称关系的例子有很多。下面列出了其中一些示例。

• 对两个元素进行小于运算。
• 任意集合上的相等关系。
• 整除关系
• 子集

示例：如果关系 R = {(1, 1), (4, 7), (7, 4)}，则​​判断给定关系是否是反对称关系？

解决方案：

R = {(1, 1), (4, 7), (7, 4)}

上述关系是反对称的

(1, 1) Î R 且 (1, 1) Î R 且 1 = 1。
(4, 7) Î R 且 (7, 4) Î R 且 4 ≠ 7。
R 不是反对称关系。

反对称关系的性质
反对称关系的性质如下：

• 任何集合上的空关系总是反对称的。
• 关系可以同时是对称和反对称的。
• 如果R是反对称关系，则R -1也是反对称关系。
• 若R 1和R 2是两个反对称关系，则R 1 ∩ R 2也是反对称的。
• 在反对称关系的矩阵表示中，当 i ≠ j 时，要么 M ij = 0，要么 M ij ≠ 0。

如何检查关系是否反对称？
要检查给定关系是否反对称，请按照以下步骤操作。

• 首先，检查给定关系中的每个 (a, b) 是否存在 (b, a)。
• 如果 (b, a) 存在且 b ≠ a，则关系不是反对称的。
• 如果对于每个 (a, b) 都存在 (b, a) 并且在所有对 a = b 中，则关系是反对称的。
• 如果 (b, a) 不存在，则关系是反对称的。