这篇文章是关于数学哲学中的结构主义的深入探讨，它摘录自2021年由麻省理工学院出版社出版的《数学哲学讲座》一书。这本书是在牛津大学进行的数学哲学系列讲座的基础上编写的，它从数学的角度出发，自然地从数学探究和实践中发展出对数学哲学的介绍。
结构主义可能是当今数学家中最为广泛持有的哲学立场。它的核心观点是，数学对象作为个体是什么并不重要，重要的是它们所处的结构，作为一个整体来考虑。在数学系统中，数字和其他数学对象在它们所属的系统中扮演结构角色。结构主义的口号，正如Shapiro（1996，1997）所说，是“数学是结构的科学”。
关键要点：
结构主义的主要观点是：
- 数字或其他数学对象作为个体是什么并不重要，
- 重要的是它们作为一个整体所处的结构。
（banq注：对数字敏感并不意味数学学得好，因为数字本身不重要，数字所在上下文结构最重要）
数字在数字系统中扮演着各自的结构角色，而其他数学对象则在它们的系统中扮演着结构角色。
（banq注：1+2=3 这个数学公式中，数字1、2、3只是扮演角色符号，加号和等于号是结构符号，也就是说：结构符号对于结构整体更重要，如果你对数字敏感，过分关注数字，反而会忽视结构，数学逻辑反而不好。）
夏皮罗（1996，1997）认为，结构主义的口号是 "数学是结构的科学"。
以下来自国产大模型Kimi的总结:
文章详细讨论了结构主义的各个方面，包括数学对象的结构角色、定义性与结构角色的区别、结构的点对点定义、莱布尼茨结构的概念、刚性结构以及莱布尼茨属性的重要性。此外，文章还探讨了包括等式或身份标识关系在内的形式语言对莱布尼茨结构的影响，以及在没有等式的情况下模型的元素等价性。
文章还讨论了结构主义的不同形式，包括实践中的结构主义、消除结构主义和抽象结构主义。实践中的结构主义强调数学研究应该关注数学结构，并以结构主义的方式陈述和证明定理。消除结构主义认为数学结构仅仅是在特定结构中实例化的东西，而抽象结构主义则认为数学对象，包括数字、函数和集合，本质上是结构性的，它们作为纯粹的结构抽象对象存在。
此外，文章还提到了数学家在遵循结构主义原则的同时，如何面对关于特定数学对象的单数引用问题。抽象结构主义提供了一种直接的解决方案，通过抽象过程解释数学中的单数术语如何指向纯粹的结构对象或抽象结构角色。
最后，文章指出结构主义在数学哲学中的重要性，特别是在理解数学对象的本质以及它们在数学理论中的作用方面。通过深入探讨结构主义，我们可以更好地理解数学的本质和数学家在进行数学探究时所遵循的原则。
网友讨论：
- 数学结构主义的发展是为了解释数学对象的本体论，并且经常与柏拉图主义形成对比，柏拉图主义认为数字是像你或我这样的真实事物。
- 范畴性是结构主义的核心，因为它表明我们熟悉的数学领域的本质。