数学纯粹是逻辑性的！
但数学的教学、它的价值、它的用途和它的运作方式充满了细微差别。
那么什么是“好”数学呢？
作为菲尔兹奖、数学突破奖和麦克阿瑟奖学金的获得者陶哲轩是当今最受尊敬、最多产的数学家之一。他与quantamagazine主持人兼数学家史蒂文·斯特罗加茨 (Steven Strogatz)一起重新审视优秀数学的构成。
1、数学是客观的还是主观的？
陶哲轩教授在讨论中表示：数学所做的事情是建立基础联系，例如笛卡尔坐标建立了几何和代数两个不同上下文视角之间的联系，数学研究者如同盲人摸象中的盲人，都持有从不同上下文视角。
我们一开始都是盲目的，我们只是看着柏拉图洞穴上的影子，后来才意识到...
那么，数学是否如同大象，一开始就一直存在那里，是一种客观规律，而我们是盲人，人们只是从不同角度去发现它而已，数学不是人类自己的发明吗？
看来，陶哲轩是相信数学是客观存在，而不是主观的。
主持人史蒂文追问：我们正在试图看到一些独立于人类而存在的东西。这真的是你所相信的吗？
陶哲轩：当你数学学得好时，你不仅仅是在使用符号。你确实觉得它指向一些你想要理解的实际物体，而我们拥有的所有方程都只是这种物体的近似值或阴影。重点是，为了真正实现做数学的目的，相信它是真实的会有所帮助。
（banq注：其实这个物体是人心中的上帝而已，人类思维中缺陷是必须预设主语、上帝，数学家也不例外，陶哲轩可能自己没有意识到这点，这是语言文字游戏的魅力）
我们在数学中看到的复杂性常常是我们自身局限性造成的
2、为什么定义”什么是好的数学“很重要？
陶哲轩：有时有人会说一些让我不舒服的话，比如，“这个数学没有应用，因此它没有价值。” 或者“这个证明太复杂了；因此它没有价值，”诸如此类。
根据我的经验，当我理解不同的观点、不同领域的人思考数学的不同方式并将其应用于我关心的问题时，最好的数学就会出现。
我关于如何正确使用数学、如何运用数学的经验与这些非常不同——有点像“做数学的唯一真正方法”。
我觉得必须以某种方式提出这一点。数学确实有多种方法，但数学仍然是统一的。
主持人史蒂文：你的兴趣广度似乎与你接受不同见解、来自所有不同的数学好方法的不同有价值的想法的广度有关。
陶哲轩：数学家有两种类型：有刺猬和狐狸。
- 狐狸是对一切事物都略知一二的人。
- 刺猬是一种非常非常了解一件事的生物
两者都不比另一个更好。他们相辅相成。
在数学领域，你需要的是某个子领域真正的深度领域专家，并且他们对某一学科了如指掌。
另外，数学领域还需要能够看到一个领域与另一个领域之间联系的人。
所以我肯定是一只狐狸，但我和很多刺猬一起工作。我最引以为豪的工作往往就是这样的合作。
（banq注：好的数学是跨不同上下文 的数学研究？）
陶哲轩：15年以来，数学文化正在发生很大的变化。我已经对数学有了一个广阔的视野，现在我有了更广阔的视野。
非常具体的例子是：计算机辅助证明在2007年仍然存在争议。
[托马斯]黑尔斯创建了一种完整的计算机语言来正式验证这个特定的证明，但多年来它没有被接受为真正的证明。但它说明了需要计算机辅助来验证的证明概念是多么有争议。
从那以后的几年里，出现了很多很多其他证明的例子，人类可以将复杂的问题简化为仍然需要计算机来验证的问题。
现在，计算机辅助证明（也称为形式验证）已被广泛接受。
现在，我认为，下一个文化转变将是人工智能生成的证据是否会被接受。目前，人工智能工具还没有达到可以生成证明来真正推进数学问题的水平。
但在某个时候，我们将开始看到人工智能辅助的论文问世，并且将会出现一场争论。
也许人工智能的影响之一是让业余数学家能够为数学做出有意义的贡献。
（banq注：数学家最核心的工作数学证明过程即将被人工智能替代，目前已经被形式验证软件替代）
3、民间数学家借助大模型做陈景润？
主持人史蒂文：业余爱好者可能会在人工智能的帮助下，要么提出好的新问题，要么帮助对现有问题进行良好的探索，诸如此类？
陶哲轩：现在有一些项目可以形式化大定理的证明，称为形式化证明助手，它们就像计算机语言一样，可以 100% 验证定理是否正确以及是否已被证明。这实际上使得数学领域的大规模合作成为可能。
在过去，如果你与其他 10 个人合作证明一个定理，并且每个人都贡献一步，那么每个人都必须验证其他人的数学。因为数学的特点是，如果其中一个步骤出现错误，整个事情就会崩溃。
所以你需要信任，所以——这实际上阻碍了数学领域的大规模合作。但现在已经有一些成功的例子，真正的大定理被形式化，有一个巨大的社区，他们并不互相认识，他们并不互相信任，但他们通过上传到一些 Github 存储库或诸如论证中各个步骤的单独证明之类的东西。
而形式证明软件会验证一切，因此您无需担心信任问题。
因此，我们正在启用新的协作模式，这是我们过去从未见过的。
（banq注：科学和数学将从象牙塔神殿供奉中走到世俗民间，创新将涌现。）
4、大模型时代科学将回归民间？
主持人史蒂文：这是一个令人着迷的想法。你不会听到“公民数学家”这个词。你听说过公民科学（民科、民间科学家），但为什么没有听说过公民数学呢？
陶哲轩：我希望人工智能可以帮助简化数学的解释和证明。
已经有了实验性软件，例如，如果您采用已经形式化的证明，您实际上可以将其转换为交互式人类可读文档，您可以在其中获得证明并看到高级步骤，如果有一个句子你不明白你可以双击它，它会展开成更小的步骤。很快我认为你也可以让一个人工智能聊天机器人坐在你旁边，当你完成证明时，他们可以回答问题，他们可以解释每一步，就好像他们是作者一样。我认为我们已经非常接近这个目标了。
我们必须改变我们教育学生的方式，特别是现在我们布置作业等的许多传统方式，我们几乎已经到了这些人工智能工具可以立即回答我们许多标准考试问题的地步。
我们需要教给学生新的技能，比如如何验证人工智能生成的输出是否正确以及如何获得第二意见。
5、陶哲轩阅读维基百科做数学
我之所以可以使用维基百科来做数学，是因为我已经了解了足够多的数学知识，我可以闻到维基百科中的数学内容是否可疑。
你会获得一些论据来源，其中一个来源将比另一个来源更好。我认识作者，并且知道哪一篇参考文献对我来说更适合。
如果我使用维基百科来了解一个我没有经验的主题，那么我认为它更像是一个随机变量。
访谈最后部分，陶哲轩谈了自己如何帮助医学成像领域的成功案例：我意识到我做出了一个不正确的假设，然后我意识到它实际上可以起作用。
（banq注：人们陷入不同上下文 中，每个上下文都基于一个默认假设，而这个假设是陷入上下文中的人们无法认识到的，陶哲轩作为医学成像领域的旁观者，立即意识到自己做了一个不正确的假设，可能受到所在领域专家的误导。）
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