函数式编程
什么是Monad？
为了理解什么是Monad，最好需要了解什么是Monoid。这两篇互为姐妹篇，因为Monad的定义是：A monad is just a monoid in the category of endofunctors, what's the problem?
what's the problem？其实问题大了去了，这个定义中首先我们知道monad是一个特殊的monoid，特殊在哪里？是在endofunctor这个范畴里，正如书桌比桌子特殊，特殊在书桌用在看书读书这个范围里。所以，我们需要首先了解什么是endofunctor，而endofunctor是end of functor的组合，还得首先了解什么是functor函子。
自函子endofunctor
一个functor是一个多态数据类型，支持用函数对数据内容的操作，这非常类似面向对象概念中的对象，一个对象也是由数据和方法组成，方法是操作数据的函数。所以，当我们认为世界上每个都是对象时，也可以认为每个都是functor。
一个functor是将一个范畴(广群)转换到另外一个范畴(广群)，而endofunctor则是转换的源范畴和目标范畴是同一个，endofunctor是functor的特殊。
我们知道：一个范畴是由三个部分组成: 元素对象、态射（又称为箭头）以及二元运算。如果这个范畴又满足结合律，那么它是一个半群，如果又满足幺元，那么是幺半群，也就是Monoid。
因此，functor实际是将一个Monoid中的元素对象映射到另外一个Monoid的元素对象，态射也是这么映射。而自函子endofunctor映射的这两个Monoid是同一个。
在Haskell中，一个endofunctor被称为"the Hask category,"，是Hask范畴。Hask范畴中的元素对象是Haskell的类型，态射箭头是Haskell的函数。
类型
类型是值的集合，比如类型Bool(Haskell核心类型是大写开始)是一个有两个元素的集合，这两个元素 是True和False，类型Char是所有Unicode字符如'a'或'b'的集合。
函数也是有类型的，函数的类型是其输入输出的综合，比如f函数是输入类型A到输出类型B：B f(A a); 在 Haskell中是如下表达：
f ∷ A → B
因此区别两个函数的不同，我们可以从其输入类型和输出类型上区别。
函子functor是比函数更高阶的函数，函子是作用于两个范畴之间的函数，但是根本上也是一个函数，因此函子的类型与上面的函数类型差不多。假设两个范畴是 C和D, 其函函子是：
functor F: C -> D
函子functor原理
函数组合的方式有其特殊地方，这个特殊主要是由于我们组合的对象是函数，如果组合的对象是整数类型，两个整数组合成一个整数，这没有问题，但是你不能将两个函数类型组合起来还是和原来函数类型一样。比如我们将两个f函数f ∷ A → B组合起来，就不会得到还是A → B。
函子functor是比函数更高阶的函数，函子是作用于两个范畴之间的函数，可以简单认为是两个集合之间的映射。范畴的映射转换需要转换其中的元素和态射。
假设两个范畴是 C和D, 有一个函子functor F: C -> D ，这种写法类似函数写法，但是因为函子是范畴的函数，所以，其工作原理是进入范畴C和D内部，而范畴是由元素对象和态射箭头组成，因此函子就要分别作用于元素对象和态射箭头。
映射元素对象：C中的任何对象A转变成了D中的F(A)；
映射态射箭头：C中的态射f: A -> B转变成了D中的F(f): F(A) -> F(B) 。
(组合箭头和元箭头映射这里省略)
函子这种映射实际是一种分解组合方式，对于这个过程我们可以用下面模拟形象地理解：
- 计算C集合中每个函数的"结果", 但是不组合它们.
- 将 F函数单独应用于C中每个函数的结果，我们就获得结果的集合的集合。
- 压平这两层集合，组合所有的结果。 (注意这里的组合方式将对应Monad的自然变换态射)
可以用Java的集合操作来形象理解 ：
Collection ednfunctor(Collection c){
Collection d = new ArrayList();
for(Object o:c) {
//对输入集合C元素逐个应用函数F转换到新的输出集合
}
return d;
}
这种转换一般是由SDK专门工具来提供，如果自己实现就非常丑陋，
Monad
现在回到Monad英文定义：
A monad is just a monoid in the category of endofunctors
the category of endofunctors是自函子endofunctor的范畴(category)，Monad是自函子范畴中的Monoid。
前面我们已经了解函子的映射原理，自函子可以理解为映射范畴C到另外一个范畴C。那么自函子的范畴是什么意思？是基于自函子的新范畴吗？经过查询此句原出处： Here it is in context,原文是：
All told, a monad in X is just a monoid in the category of endofunctors of X, with product × replaced by composition of endofunctors and unit set by the identity endofunctor.
确实是基于范畴X的新范畴，这个新范畴看成是endofunctors on X。范畴X之上的范畴，这个新范畴的元素对象是自函子endofunctor，谈到范畴就要想到元素对象和态射，那么其态射是什么呢？
前面我们解释函子funtor工作原理时，有一句："3.压平这两层集合，组合所有的结果"，这个组合方式是一种自然变换natural transformation，属于新范畴的态射，因为态射有份两种：组合态射和元identitiy，自然变化就要对分别对X范畴中这两种进行转换。
所以，Monad工作原理包含两个部分：对原范畴组合成新的范畴，这个范畴对于Monad来说必须是幺半群Monoid，可以认为Monad是一系列自函子的组合，这种组合是一种转换，转换的结果是Monoid。
Monad有以下特征：
- Monad是一种定义将函数(函子)组合起来的结构方式。(monoid是定义元素对象组合起来的结构方式。如果元素对象是特殊种类：函数(函子)，那么它可能是Monad)
- 这些组合的方法都是符合结合律的
- 有一个特殊幺元，能够和任何元素组合，导致的结果是不改变这些元素。
关键对最后一点幺元讲解一下，以为什么需要Monad?一文中案例为说明，假设有两个数字a和b相加，这里a和b 可能为空，Java 代码如下：
int try_to_add_numbers( Integer a, Integer b )
{
return a + b;
}
如果a 和b非空，那么这个方法将会返回它们的总数，但是如果其中有一个是空的，我们会得到NullPointerException错误，调用客户端得到这个错误必须去处理它。而函数的定义是有一个输入类型和一个输出类型，现在又跑出第三种类型Exception，很显然Exception是和输入输出类型不属于同一个范畴，这就不符合封闭运算了。
那么我们使用一个幺元，比如Optional来封装结果，这样就能保证不抛出Exception，而是将Exception错误通过输出结构输出，这种结果分两种，要么是空，要么是有值，如果是有值，打开它就能获得真正的计算结果。我们使用Optional与结果值结合，但是不会改变这个结果值类型。具体可见： Java8中option实现Monad
总体来说：Monoid是元素对象的组合的范畴，如果这种元素对象是函数或函子(也可能是Pipe，这就复杂了去了 )，那么Monad是自函子的组合范畴，Monad也是一种特殊的Monoid子集。
如果你对大数据Hadoop等比较熟悉，map/reduce其实也是一个Monad。
最后我们用简单大白话(不精确有助于理解)翻译一下Monad的英文定义：A monad is just a monoid in the category of endofunctors，monad只不过也是一种特殊情况下的monoid，特殊在哪里呢？就是自己对自己进行转换的集合而已。