维特根斯坦是个逻辑学家，虽然我还没仔细读完他的所有作品，但我发现他的作品里很少用那种复杂的逻辑形式符号来论证问题。他更多是用一些表面的例子和简单的真值函数来说明问题。
不过，他经常提到弗雷格和罗素这些人的复杂理论。而且，他对集合论和一些公理证明方法似乎有点不屑一顾，这种态度有时候让人觉得有点尴尬。
那么，我们有没有理由相信他真的完全理解了像哥德尔不完备定理这样的复杂理论，并且能客观地批评它呢？
当然，我并不是说他没本事——比如他在语言哲学方面确实做出了很多重要贡献。但是，当谈到“关于数学基础的评论”这类话题时，我就不太确定他是不是真的那么厉害了。
现在学术界对这个问题有多重视呢？
网友1：
我是研究数学哲学的，但我不是维特根斯坦的专家。
你好像有两个问题：
- （1）总的来说，维特根斯坦的数学哲学在今天还重要吗？
- （2）具体来说，维特根斯坦真的理解哥德尔不完备定理吗？
关于问题（1），维特根斯坦在当代数学哲学里并不是主要人物，虽然确实有人研究他。我看过的一些入门书，比如夏皮罗的《数学思考》和林奈博的《数学哲学》，都没有详细讨论维特根斯坦。
当然，也有一些关于他的研究，比如这篇论文：https://philpapers.org/rec/PREPIC-2。不过，即使你不了解维特根斯坦，也能很好地掌握数学哲学的主要内容。
关于问题（2），我觉得“理解”是有不同层次的。
我觉得不能说维特根斯坦对数理逻辑非常精通，以至于他能给出特别详细的正式批评。至少，我没在他的作品或传记里看到什么证据表明他像数理逻辑学家那样理解哥德尔的理论。他的《关于数学基础的评论》（RFM）主要是基于30年代的讲座，也就是哥德尔发表定理后不久。
不过话说回来，维特根斯坦确实从技术层面上理解了哥德尔定理中和他观点相关的部分。他并没有完全误解这个定理的真正含义。
网友2：
维特根斯坦对数学和逻辑的讨论有多深刻，以及这些讨论如何受到当时技术发展的影响，这是一个有争议的话题。这并不奇怪，因为在他的时代，他的同龄人对此也有不同的看法。
哥德尔本人认为维特根斯坦不理解他的工作，这是基于维特根斯坦在《数学基础评论》中的评论（正如你提到的）。哥德尔在1972年4月20日写给门格尔的信中说：
“至于我的关于不可判定命题的定理，从你引用的段落中确实可以清楚地看出，维特根斯坦不理解它（或假装不理解它）。他把它解释为一种逻辑悖论，而事实上它恰恰相反，是数学中一个绝对没有争议的部分（有限数论或组合学）中的数学定理。顺便说一句，你引用的整段话在我看来都是胡说八道。” |
关于维特根斯坦对哥德尔定理的讨论，还有一些批判性的评价，比如兰伯特的文章《维特根斯坦关于哥德尔定理的“臭名昭著的段落”》[PDF]。
为了公平起见，并提供一些历史背景（我觉得在讨论中有时缺少这一点），通常需要一些数学能力很强的人来理解哥德尔关于不完备性的工作。语义解释有点复杂，我们今天解释它时用到的一些概念在哥德尔1931年的论文中只是隐含的（他的论文也没有完全证明我们今天所说的不完备性定理，因为其中一些定理后来被其他人补充了，而且当时的证明并不十分严格）。哥德尔对斯坦尼斯拉夫·乌拉姆（Stanislaw Ulam）的评论也有类似的抱怨，乌拉姆是一位非常有能力的数学家，曾与哥德尔有过直接的技术交流：
“乌拉姆说，也许我从未确定我是否只是发现了另一个像布拉利-福蒂悖论一样的悖论。这绝对是错误的。乌拉姆不理解我的结果，因为我的结果仅使用有限算术来证明。” |
恩斯特·策梅洛（Ernst Zermelo）最初也感到非常困惑，哥德尔对他也有类似的评价（尽管在这种情况下，困惑更多是数学上的）：
“您是否已经读过《年度报告》上一卷中策梅洛对我的论文的毫无意义的批评……？” |
著名逻辑学家格奥尔格·克莱泽尔（Georg Kreisel）在《英国科学哲学杂志》上对维特根斯坦的同一部作品（《数学基础评论》）进行了相当负面的评价，据说这反过来又影响了许多人对它的看法（但我不清楚具体的接受历史）：
“……除了许多令人振奋的问题之外，它们（维特根斯坦的评论）给人留下了好坏参半的印象。维特根斯坦对数理逻辑的看法并不值一提，因为他知道的很少，而且他所知道的仅限于弗雷格-罗素系列产品。我不喜欢读这本书。当然，我不知道十五年前我应该怎么看待它；现在在我看来，它只是一个聪明才智的出品，出乎意料地微不足道。” |
无论如何，维特根斯坦经常引用弗雷格或罗素等人的极其复杂的著作。
维特根斯坦是罗素的学生，罗素似乎普遍对维特根斯坦评价很高，所以你至少可以把它加到接受度的另一端。就罗素或弗雷格的“高度复杂的工作”而言，一般来说，当时逻辑发展的早期阶段大多被专门研究它的人所理解，很难将它与一般的数学能力进行比较或联系起来。
但是，当维特根斯坦写下你提到的作品时，逻辑已经比最初的基础步骤得到了进一步的发展，另见上面的克莱泽尔评论。
除了罗素之外，维特根斯坦的工作也受到维也纳圈许多人物的重视，讨论大多由哈恩、魏斯曼和雷德迈斯特发起，他们都是有能力的数学家。这是哥德尔和实证主义者典型的对立观点的另一个例子，因为前者对维特根斯坦的工作或他对罗素的影响评价很低，并且对这些讨论不感兴趣。
作为逻辑学家的维特根斯坦
至少在他作为一名学者的“公众”角色中，维特根斯坦并没有真正从事逻辑或数学工作，而是从事哲学工作。他唯一有记录的数学工作本身可以在他的《遗言》中找到，并在Mancosu和Marion的《维特根斯坦对欧拉素数无穷性证明的构造化》中进行了讨论。虽然不是特别重要或引人注目，但它至少表明维特根斯坦确实在某种程度上关心数学实践，而且它似乎确实引起了他那个时代一些数学家的兴趣。
维特根斯坦他的作品中很少有形式的（以逻辑符号表达的）论证。
我通常是最后一个为维特根斯坦辩护的人，但请注意，对于当时许多有能力的数学家及其哲学著作，或者对于今天拥有数学博士学位撰写哲学的人来说，情况也是如此。撰写哲学时，目的不是展示一个人的数学能力，而是清楚地传达哲学。
我不认为维特根斯坦的评论因为缺乏数学符号而变得混乱。
如今学术界对于这个问题有多重视？
你引用的维特根斯坦的作品，以及他的作品总体上，对数学哲学都没有太大影响。专门研究维特根斯坦将是一种高度专业的兴趣。有一本由Frascolla写的书，一本由Marion写的书，一篇带有参考书目的SEP文章，或者Ryan Dawson的博士论文。我对此了解不多，也许有人知道更好的文献。当代著名数学哲学家Penelope Maddy也有一些作品，但维特根斯坦学者对此不太满意。
最后再补充一点，我认为很明显维特根斯坦至少做错了一些事情：
我想不出这些圈子里还有第二位哲学家，一方面（在社会和学术上）与他那个时代的名人如此接近，并经常被称为他那个时代最伟大的哲学家之一，同时也让许多显然不是恶意写作的能干人士觉得他在谈论数学或逻辑时不知道自己在说什么。
除了历史上所有的负面评论之外，我还听到很多人在论文、评论、博客、讲座、随口评论中抱怨维特根斯坦在这方面……显然存在一些问题。
随机示例：
- “维特根斯坦认为他的主要贡献在于数学和逻辑哲学。我不确定他是否理解其中任何一个”（劳伦斯·C·保尔森在他的博客上），
- “你从中得到多少将取决于你对维特根斯坦在数学哲学方面的剩余兴趣——他似乎真的不太了解”（彼得·史密斯在《逻辑形而上学》的评论中）。
我认为这些例子非常有代表性，代表了人们经常听到的关于维特根斯坦的内容。我也从来没有从维特根斯坦那里得到任何东西。虽然这样的事情可能会变得有点自相矛盾，民间知识也不太可靠，但在这种情况下，我认为作者主要应该怪自己。
注意：
- 维特根斯坦是罗素路线，而罗素试图将逻辑凌驾于数学之上，认为逻辑是数学基础。
- 而皮尔斯等数学派认为：数学是逻辑基础。